8.3. Свободные колебания без затухания

Рассмотрим вначале колебания только подрессоренной массы без учета влияния на эти колебания неподрессоренных масс.

Как спереди, так и сзади подрессоренная масса опирается на дорогу через два последовательно включенных упругих элемента: упругий элемент подвески, имеющий жесткость С_р, и шину, обладающую жесткостью С_ш .

Покажем, что два (в общем случае несколько) упругих элемента, можно при расчетах заменить одним, жесткость С_пр которого называют приведенной жесткостью.

Обозначим f_пр суммарный прогиб двух последовательно включенных упругих элементов под действием некоторой силы Р.

Прогиб каждого из этих элементов равен

; , но ,

откуда:

; (197)

Пользуясь понятием о приведенной жесткости, можно, если не учитывать влияния неподрессоренных масс на подрессоренные, колебательную систему представить в виде массы М_п с моментом инерции относительно поперечной оси ОУ, проходящей через центр тяжести, равным J_у, опертой на упругие элементы С_пр1 и С_пр2 (рис. 59).

Рис. 59.

Будем рассматривать колебания такой системы по двум степеням свободы – перемещение центра тяжести 0 по вертикали (в направлении оси OZ) и поворот в продольной плоскости (вокруг оси ОУ, перпендикулярной плоскости чертежа).

Положительными будем считать перемещение вверх и поворот балки против часовой стрелки.

Уравнения движения при этом запишутся так:

; ,

где z₀ – текущее перемещение центра тяжести 0 по оси z;

α – текущий угол поворота балки относительно оси OУ;

P₁ и P₂ – силы упругости соответственно переднего и заднего упругих элементов.

Если обозначить Z₁ и Z₂ текущие значения деформации соответственно переднего и заднего упругих элементов, то

P₁ = C_пр1z₁ и P₂ = C_пр2z₂

Тогда

; (198)

; (199)

Где ρ_y – радиус инерции подрессоренных масс автомобиля относительно оси ОY.

В два уравнения (198) и (199) входят четыре неизвестных: Z₁, Z₂, Z₀ и α. Однако эти неизвестные связаны между собой, и любая пара из них может быть выражена через другую пару.

Выразим неизвестные Z₀ и α через Z₁ и Z₂

Непосредственно из рис. 60 можно записать:

; (200)

Из уравнений (188) получим:

Подставляя эти значения α и Z₀ в равенства (199) и (200), получим:

; (201)

; (202)

После преобразования получим два дифференциальных уравнения:

; (203)

Разделим обе части каждого из уравнений (203) на коэффициенты при и . Тогда

; (204)

; (205)

Система уравнений (204) и (205) является связанной, поскольку в уравнение (204), кроме и , входит также , а в уравнение (205), кроме и , входит .

Однако, если выполняется условие а_пb_n = ρ_y², тo в уравнении (205) остаются только перемещение Z₂ и ускорение передней части автомобиля, а в уравнении (204) только перемещение Z₂ и ускорение задней части автомобиля, т.е. уравнения (204) и (205) оказываются не связанными друг с другом. Это означает, что при колебания передней части автомобиля не оказывают влияния на колебания его задней части и наоборот.

При колебания передней и задней частей автомобиля оказываются связанными.Влияние колебаний одной части автомобиля на другую тем больше, чем больше коэффициенты при вторых членах уравнений (204) и (205).

Поэтому эти коэффициенты называют коэффициентами связи.

, ; (206)

Рис. 60. Схема для определения парциальных частот

Рассмотрим случай, когда .

В теории колебаний имеется понятие «парциальная частота системы», под которым понимается частота колебаний по одной из степеней свободы в случае, когда движение по всем остальным, степеням свободы устранено. Если считать, что закреплена точка В (рис. 60а), т.е. Z₂ = 0, то уравнение (205) может быть записано в виде:

; (206)

В случае, когда закреплена точка А (рис. 60б), т.е. Z₁ = 0, уравнение (205) принимает вид:

; (207)

Коэффициенты при перемещениях представляют собой соответственно частоты колебаний точки А при закрепленной (шарнирно) точке В и колебаний точки В при закрепленной точке А, т.е. парциальные частоты колебаний подрессоренной массы автомобиля в случае, когда . В действительности как точка А, так и точка В совершают сложные колебания, которые для точки А можно рассматривать как сумму колебаний относительно точки В и колебаний точки В для точки В как сумму колебаний относительно точки А и колебаний точки А.

Зависимость от времени перемещений точек А и В можно определить по формулам:

для точки А

; (208)

для точки В

; (209)

где Z₁₁ и Z₂₁- амплитуды колебаний соответственно точек А и В с частотой Ω₁;

Z₁₂ и Z_{22 –} амплитуды колебаний соответственно точек А и В с частотой Ω₂.

Частоты Ω₁ и Ω₂ могут быть найдены по парциальным и коэффициентам связи K_с1 и K_с2 , пользуясь уравнениями:

; (210)

(211)