Глава 8

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

8.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

В ТЕХНОЛОГИИ, ОРГАНИЗАЦИИ И УПРАВЛЕНИИ

АВТОМОБИЛЬНЫМИ ПЕРЕВОЗКАМИ

Повышение эффективности автомобильных перевозок грузов связано с применением методов классической и современной математики для решения прикладных задач. По своему характеру все решаемые на транспорте задачи можно разделить на три группы: разработка тех­нологических процессов перевозки грузов; оперативное управление пере­возочным процессом; учет и статистика.

Разработка технологических процессов перевоз­ки грузов связана с определением кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети, с составлением рациональных маршрутов при перевозке массовых грузов, с определением развозочно-сборных маршрутов при мелкопартионных перевозках с рациональной эксплуата­цией различных моделей автомобилей на перевозке различных грузов, с закреплением автотранспортных предприятий за грузоотправителями и другими вопросами.

Человеческий ум обладает огромными достоинствами по сравнению с любой машиной. Благодаря интуиции была решена «проблема комми­вояжера». Эта известная математическая проблема, долго ставившая в тупик математиков, в одном из вариантов формулировалась так: комми­вояжер, выезжая из Вашингтона, должен посетить 48 главных городов штатов и вернуться в Вашингтон по кратчайшему пути. Число возмож­ных маршрутов составляет 10⁶². Сотрудники института РЭНД (США) с помощью булавок и ниток и своей интуиции открыли кратчайший мар­шрут, способствовали возникновению и развитию методов динамическо­го программирования.

Каждый анализ пронизан интуицией и рассуждением. Недостатком интуиции является то, что без аналитической проверки неизвестно, на­сколько она справедлива. Интуиция использует в нашем сознании модели упрощенных понятийных копий действительности. В большинстве слу­чаев при рассмотрении сложных задач полезно подкрепить наш мозг не­которой помощью извне, используя карандаш, лист бумаги, несколько уравнений, настольную вычислительную машину и в особых случаях сложную статистическую и математическую теорию или быстродейст­вующие машины. Аналитические методы и вычислительные машины по­зволяют нам сделать то, что сделать другим путем невозможно. Необхо­димо только обращать внимание на то, чтобы математические методы не способствовали узковедомственному подходу к решению вопросов, проникновению чуждой идеологии, подмене социально-экономичес­кого анализа математическим методом исследования, в результате чего здравый смысл исчезает, а остаются одни уравнения.

Рассмотрим несколько примеров применения математических ме­тодов при разработке технологических проектов перевозки грузов.

Задача 8.1. Однородный груз в количестве 400 т находится на двух складах. На складе № 1 находится 250 т груза и на складе № 2 - 150 т. Груз необходимо перевезти двум потребителям. Потребителю А требует­ся 250 т и потребителю В - 150 т (рис. 8.1). В такой ситуации возникает желание отправить груз со склада № 1 потребителю А, а со склада №2 - потребителю В. Из рис. 8.1, видно, что такое решение приведет к выпол­нению транспортной работы в объеме

Если потребителю В отправить груз из ближайшего склада № 1, а по­требителю А перевезти оставшиеся 100 т, а остальные 150 т со склада № 2, то транспортная работа составит

150-5 + 100-15 + 150-5 = 3000 ткм.

В случае, когда потребителю В направить со склада № 1 - 50 т и со склада Лг 2 - 100 т, а оставшиеся грузы направить потребителю А, транспортная работа составит

50-5+ 100 10 + 50-5+ 200-15 = 4500 т-км.

Таких вариантов можно составить очень много. Будет ли второй ва­риант лучшим? Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ли­бо пересчитать все варианты, либо применить математические методы.

Обозначим количества груза, направляемого со склада № 1 потреби­телю В, через X. Тогда потребителю А с этого склада будет перевезено 250 - X . Потребителю В этом случае со склада № 2 будет перевезено 150 - X , а потребителю А - остальной груз в количестве X. Придавая X различные значения от 0 до 150, мы получим различные варианты реше­ний. Математическая модель для решения этой задачи будет иметь вид:

или

Из формулы (8.1.) видно, что лучший вариант решения будет в том случае, когда Сбудет иметь наибольшее значение, т. е. 150.

Задача 8.2. Определить необходимое число автомобилей для работы в комплексе с экскаватором, обеспечивающих минимальные затраты, связанные с перемещением материала.

Чем больше автомобилей будет участвовать в перевозке, тем будет ниже производительность каждого автомобиля из-за увеличения времени простоя под погрузкой, в связи с простоями в очереди при ожидании по­грузки, и выше себестоимость транспортирования. С другой стороны, с уве­личением числа работающих автомобилей улучшается использование экска­ватора и снижается себестоимость погрузки фунта. Математическая фор­мулировка задачи будет иметь вид:

где: С_э - стоимость машино-часа экскаватора, руб./ч;

С_а - стоимость автомобиле-часа, руб./ч;

λ - интенсивность входящего потока автомобилей;

А_э - число автомобилей, работающих с экскаватором;

μ₀ - интенсивность обслуживания;

ρ - приведенная плотность потока автомобилей;

D{t₀) - дисперсия времени обслуживания, ч.

Аналитическими методами расчетов могут решаться задачи по взаи­модействию подвижного состава и погрузочно-разгрузочных механиз­мов, по определению рациональной грузоподъемности подвижного со­става автомобильного транспорта, по определению рациональной партионности перевозимого груза и др. Однако этими методами можно решать задачи, когда известны оптимизирующие функции и имеется незначи­тельное число оптимизирующих переменных. При большом числе пе­ременных применение аналитических методов становится затрудни­тельным. Аналитический поиск экстремума целевой непрерывной функ­ции

где: (x₁, х₂,..., х_п) - независимые переменные, сводится к решению сис­темы из уравнений, полученной приравниванием ча­стных производных к нулю

Для решения сложных задач, связанных с перевозкой грузов, когда непосредственное сравнение вариантов с целью выбора оптимального оказывается трудновыполнимым, применяется линейное программиро­вание.

Решение задач методами линейного программирования связа­но с разработкой математической модели. Понятие модель в на­стоящее время одно из самых популярных. А. И. Ракитов дает сле­дующее определение модели. Объект А будем называть моделью объ­екта 5, если А является объектом - заместителем по отношению к В и если А в некотором отношении проще, удобнее, компактнее или обла­дает иными преимуществами по отношению к В и, кроме того, суще­ствует такая зависимость между А и В, что, манипулируя А, мы полу­чаем знания, которые могут быть непосредственно или с некоторыми поправками отнесены к В.

Физическая модель с давних пор используется для эксперимента, для проверки разнообразных идей. Экономические явления столь сложны, столь многофакторны, что их практическая проверка бывает трудно осуще­ствима. И здесь используются экономико-математические модели.

Модель может состоять лишь из списка рекомендаций, а может со­держать и абстрактные математические построения. В любом случае мо­дель следует рассматривать как определенную формализацию проблемы, что облегчает получение решения.

Методы линейного программирования позволяют найти решение не путем перебора и сравнения всех возможных вариан­тов, а путем применения определенного математического расчета, кото­рый рядом последовательных приближений приводит к оптимальному решению. Слово «программирование» показывает, что эти методы приме­няются для проектирования (планирования), а слово «линейное» опреде­ляет математическую природу этих методов, которая заключается в том, что задачи решаются на основе системы линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих неизвестные в первой степени. Система из двух уравнений с двумя неизвестными

имеет единственное решение X₁ = 1, Х₂ = 2 .

Уравнение Х₁+2Х₂=10 (8.6)

имеет бесчисленное множество решений:

Если переменные будут принимать только не отрицательные зна­чения, т. е. Х₁≥ 0 и Х₂ ≥ 0, то

Наложение дополнительного ограничения на переменные уравнения (8.6) хотя и не привело к единственности решения этого уравнения, но значительно сузило область их определения. Таким образом, условие не­отрицательности переменных является обязательным требованием в за­дачах линейного программирования.

Второе условие нахождения решений неопределенных систем линей­ных уравнений состоит в приведении их к системам, содержащим уже столько неизвестных, сколько и уравнений, т. е. к определенным систе­мам. Это достигается приравниванием соответствующего числа перемен­ных к нулю. Например, неопределенная система

имеет три следующих решения:

Если уравнения (8.8) описывают условия задачи линейного програм­мирования, то необходимо рассматривать только два первых неотрица­тельных решения.

Общая задача программирования связана с некоторыми целевыми ус­тановками, т. е. отысканием либо максимума, либо минимума целевой функции. Если в качестве целевой функции (модели) будет выражение

X₁ + X₂ + X₃, (8.10)

то когда требуется обеспечить ее максимальное значение, из двух решений оптимальным будет Х₁ =21/5, Х₂ =0, Х₃ =8/5. Когда необходимообеспечить минимальное значения целевой функции (8.10), то оптималь­ным будет вариант X₁ = 0, Х₂ = 3, Х₃ =1.

Преимущество линейного программирования перед другими мето­дами заключается не только в том, что оно дает самый короткий из воз­можных путей нахождения лучшего варианта решения из всех возмож­ных, но и в том, что его практическое применение основано на четырех действиях арифметики. Это позволяет легко осуществить механизацию расчетов, применяя при решении относительно несложных задач простые счетные приборы, а при сложных задачах ЭВМ.

В настоящее время известно несколько различных методов ли­нейного программирования. Наиболее широкое применение при разра­ботке технологических проектов перевозки грузов находят графоана­литический метод, метод потенциалов, методы с разрешающими эле­ментами и симплексный метод.