8.5. Применение теории массового обслуживания в организации перевозок

Известно, что процесс перевозки грузов представляет собой систе­му массового обслуживания, для которой характерны следующие осо­бенности:моменты прибытия отдельных единиц подвижного состава в пункты погрузки-разгрузки, как правило, не могут быть абсолютно точно предсказаны; длительность их обслуживания в этих пунктах резко меня­ется как от вида перевозимых грузов, так и от размещения перевозок во времени; погрузочно-разгрузочные посты имеют неодинаковую загрузку, и в результате сильно загруженные промежутки времени чередуются с промежутками слабой загрузки.

На рис. 8.9 показан график прибытия автомобилей на бетонный за­вод. Если производительность бетонного завода будет представлена ли­нией АБ,то все прибывающие автомобили будут тут же загружаться. Но это будет неэкономично, так как, например, в часы с 11 до 12, с 13 до 14 и особенно во вторую смену работы мощность завода будет значительно недоиспользоваться. Поэтому ориентироваться на пиковые потребности будет неэкономично. Пропускная возможность завода, представленная линией ВГ,будет лучшей.

Если пропу­скная возможность завода представлена линией ДЕ, то простои авто­мобилей в ожидании погрузочных работ сильно возрастут, и может оказаться даже, что не все автомобили будут загружены.

Появление очередей требует ответа на следующие вопросы: сколько автомобилей будет стоять в очереди, сколько времени автомо­биль будет стоять в очереди, ожидая погрузки (разгрузки), сколько вре­мени погрузочный (разгрузочный) механизм будет простаивать в ожида­нии подвижного состава, сколько автомобилей должно работать с дан­ным погрузочным механизмом. Для того, чтобы ответить на эти вопросы, можно использовать либо математический аппарат теории массового обслуживания, либо моделирование.Вероятностный подход делает расчеты сложнее обычных, однако дает возможность на стадии планирования получить более объективные данные об использовании подвижного состава автомобильного транспорта и погрузочно- разгрузочных средств.

Чтобы использовать в расчетах вероятностные методы, необходимо знать средние значения и средние квадратические отклонения рассматри­ваемых величин, а также типы их распределения.

Среднее квадратическое отклонениехарактеризует рассеивание рассматриваемого параметра. Оно выражается в тех же еди­ницах, что и рассматриваемое математическое ожидание. Среднее квад­ратическое отклонениеесть корень квадратный из среднего значения квадратов отклонений.

Тип распределения входящего потока автомобилей в пункты по­грузки или разгрузки и времени их обслуживания в этих пунктах может быть пуассоновский, эрланговский или регулярный.Чаще всего число ав­томобилей, прибывающих в пункт погрузки или разгрузки в заданный ин­тервал времени, описывается предельным случаем биноминального распре­деления, известного как распределение Пуассона. В этом случаеверо­ятность поступления автомобилей в пункт погрузки (разгрузки)определяется выражением

где: Р_п -вероятность поступления павтомобилей в заданный интервал времени;

λt -среднее значение пдля заданного временного интервала;

Задача 8.7.Экскаватор, работающий в карьере, за интервал времени 9 мин может погрузить 3 автомобиля. В течение 9 мин к экскаватору в среднем прибывает 2 автомобиля. Входящий поток автомобилей имеет пуассоновское распределение. Определить, какая часть автомобилей бу­дет загружаться сразу же по прибытии.

Вероятность того, что интенсивность прибытия автомобилей будет меньше или равна 3 за интервал 9 мин, определится из уравнения

Получено, что 85,71 % прибывающих автомобилей будут загружаться немедленно, а 14,29 % - с некоторой задержкой, с некоторым ожиданием.

В нашем примере пункт погрузки можно рассматривать как систе­му, в которой оборудование (экскаватор) имеет определенный коэффици­ент использования. Под коэффициентом использования оборудованияпонимается отношение времени занятости оборудо­вания погрузочными (разгрузочными) работами к общему времени его функционирования. Экскаватор за выбранный интервал времени 9 мин может загрузить 3 автомобиля, а фактически загружает только два автомобиля.

Таким образом, коэффициент использования оборудования (экскаватора)

Иными словами, 66 % рабочего времени экскаватор будет грузить ав­томобили, а 34 % будет простаивать в ожидании прибытия подвижно­го состава. В теории массового обслуживания под этим понимается приведенная плотность потока автомобилей, которая определяется как

В литературе при анализе величины приведенной плотности потока заявок наиболее характерными выделяют три случая:

Если пункт погрузки обслуживает n- автомобилей, то при ρ < 1 сис­тема может находится в п-состояниях (п= 0,1,2,..., п)и Р_п (t)-вероят­ность того, что в момент времени tсистема находится в п-м состоянии.

В этом случае каждое состояние является рекуррентным, т. е. вероят­ности Р_п (t)приближаются к значениям Р_п(когда tстремится к беско­нечности), которые удовлетворяют условиям:

и эти предельные вероятности состояний не зависят от начального со­стояния системы. Это означает, что очередь автомобилей, ожидающих погрузки, любой возможной длины будет занимать фиксированную долю времени.

При ρ > 1 каждое состояние будет переходным, т. е. каждое значение Р_п(t) приближается к нулю, если tстремится к бесконечности. В этом случае очередь становится все больше и больше, а вероятность любого данного значения постепенно уменьшается до нуля.

Система никогда не войдет в стационарный режим, если время об­служивания больше, чем промежуток времени между моментами поступ­ления автомобилей в пункт погрузки.

При ρ = 1 система может возвращаться в любое данное состояние, но средняя длительность этого перехода бесконечна.

Отличительной особенностью работы подвижного состава автомо­бильного транспорта является то, что в системе перемещения груза заня­то ограниченное число автомобилей. В данном случае статистическое равновесие достигается при любом значении

Для определения действительных состояний пункта погрузки рас­смотрим одноканальную систему на примере работы автомобилей- самосвалов и экскаватора.Для упрощения рассмотрения состояния сис­темы примем, что прибытие самосвалов к экскаватору под погрузку рас­пределяется по закону Пуассона, а время обслуживания по показатель­ному закону. Такое предположение позволяет применить в теории массо­вого обслуживания аппарат так называемых марковских случайных про­цессов.Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским,если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от со­стояния системы в настоящий момент времени tи не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

При совместной работе автомобилей-самосвалов и экскаватора, са­мосвал, который подъехал к экскаватору и нашел его занятым погрузкой другого автомобиля, становится в очередь ожидать погрузки, как бы оче­редь ни была велика. Теоретически длина очередиможет равняться коли­честву автомобилей-самосвалов, работающих в комплексе с экскавато­ром, минус один автомобиль, находящийся под погрузкой.

Исходя из этого при работе автомобилей-самосвалов в комплексе с экскаватором возможны следующие варианты:

P₀- экскаватор стоит в ожидании автомобиля-самосвала;

Р₁ -экскаватор грузит автомобиль-самосвал (очереди нет);

Р₂- экскаватор грузит автомобиль-самосвал (один автомобиль стоит в очереди);

……………………………………………………………………………………………

Р_п -экскаватор грузит автомобиль-самосвал (п-1 автомобилей сто­ит в очереди).

Очевидно, что для любого времени

Р₀+Р₁₊Р₂+... +Р_п=1.(8.45)

Составим дифференциальные уравнения для этих вероятностей. За­фиксируем момент времени ( и найдем вероятность P₀ (t + Δt)того, что в момент t + Δtэкскаватор будет стоять в ожидании автомобилей- самосвалов. Это может получиться в двух случаях(рис. 8.11):

А- в момент tэкскаватор стоял в ожидании автомобиля-самосвала; а за время Δtне подошло ни одного автомобиля под погрузку.

В -в момент tэкскаватор грузил автомобиль-самосвал, но за времяΔtзакончил грузить, а новый автомобиль-самосвал не подошел.

По теореме сложения вероятностей имеем

Вероятность того, что в момент tэкскаватор стоял в ожидании самосвала, равна P₀(t).

Вероятность того, что за время Δtне придет ни одного самосвала под погрузку, (согласно распределению по закону Пуассона) определит­ся:

С точностью до величины высшего порядка малости можно принять, что

По теореме умножения вероятностей найдем, что

Найдем Р(В).Вероятность того, что в момент tэкскаватор грузил самосвал, равна Р_i(t).

Вероятность того, что за время Δtэкскаватор погрузил самосвал, равна, согласно распределению по показательному закону,

С точностью до малых величин высшего порядка малости можно за­писать

Следовательно,

отсюда

Перенеся P₀(t)в левую часть, деля на Δtи переходя к пределуΔt—> 0 , получим дифференциальное уравнение для P₀(t):

Аналогичное дифференциальное уравнение может быть составлено и для вероятности, что экскаватор грузит автомобиль-самосвал (очереди нет). Эта вероятность вычисляется как вероятность уже не двух, а трех событий:

А- в момент tэкскаватор грузил самосвал, а за время Δtпродолжал грузить, и больше не подошло ни одного автомобиля-самосвала.

В -экскаватор в момент tстоял в ожидании автомобиля-самосвала, а за время Δtподошел автомобиль и его начали грузить.

С - в момент tэкскаватор грузил автомобиль-самосвал и один автомобиль-самосвал стоял в очереди, а за время Δtзакончил погрузку и на­чал грузить самосвал, который стоял в очереди.

Отсюда

Определим теперь P_k(t + Δt)вероятность того, что в момент t + Δt экскаватор будет грузить автомобиль-самосвал и к- 1 автомобилей бу­дет стоять в очереди в ожидании погрузки.

Это может быть в трех случаях:

1. В момент времени tпод экскаватором уже находилось в очередик-1 автомобилей, за время Δtэкскаватор не закончил грузить автомо­биль и ни один изних больше не подошел.

2. В момент времени tпод экскаватором в ожидании, в очереди на­ходилось к-2автомобилей-самосвалов, за время Δtподошел еще один.

3. В момент tпод экскаватором было в очереди кавтомобилей-самосвалов, за время Δtэкскаватор погрузил один самосвал.

Следовательно,

и т. д.

Полагая, что все производные равны нулю, а все вероятности Р_к(t) равны их пределам Р_к, получим алгебраические уравнения:

К ним нужно присоединить уравнение

Решая системууравнений относительно неизвестных Р₀; Р₁; Р₂и так далее, получим

Во все формулы вероятность Р₀входит в качестве сомножителя. Оп­ределим его из условия:

Тогда вероятность того, что экскаватор будет грузить автомобиль-самосвал и других автомобилей не будет в очереди, определится как

Вероятность того, что экскаватор будет грузить автомобиль-самосвал и один самосвал будет стоять в очереди:

Вероятность того, что экскаватор будет грузить автомобиль-самосвал и два автомобиля-самосвала будут стоять в очереди

Таким образом,

Количество автомобилей в пункте погрузки

Продолжительность пребывания автомобиля в пункте погрузки

На рис. 8.12 показаны границы изменения значения Р₀в зависимо­сти от изменения Р₁и количества работающих автомобилей. Диапазон изменения количества автомобилей от 2 до ∞. Расчеты показывают, что при Р₁= 1,0 вероятность простоя погрузочного средства в ожидании подвижного состава может достигать 0,33.

увеличение простоя подвижного состава в ожидании погрузки.

Сокращение длительности ожидания подвижного состава достига­етсяза счет регулирования входящего потока или увеличения интенсив­ности обслуживания, либо за счет одного и другого, вместе взятых.

По данным анализа, сокращение простоя подвижного состава в ожи­дании погрузки приводит к увеличению простоя погрузочных средств в ожидании подвижного состава и наоборот. Поэтому повышение эффек­тивности перевозочного процесса следует рассматривать во взаимосвязи подвижного состава и погрузочных средств.

Чем больше значение коэффициента использования погрузочно-разгрузочного оборудования, тем больше простои подвижного соста­ва в очереди, и наоборот.

Основные формулы теории массового обслуживания с одним об­служивающим устройством были получены Хинчиным и Поллачеком:

где: M(t₁) - среднее время ожидания погрузки (разгрузки) за ездку;

λ - интенсивность входящего потока автомобилей;

μ_о- интенсивность обслуживания;

D(t₀)- дисперсия времени обслуживания;

ρ - приведенная плотность входящего потока автомобилей (коэффициент использования оборудования).

где: М (а) - число автомобилей, находящихся в пункте погрузки (под погрузкой и в ожидании погрузки).

Второй случай, когда время обслуживания имеет экспоненциальное распределение, т. е. D(t)=1/μ₀².

При этом

т. е. в два раза больше, чем в первом случае. Экспоненциальное распре­деление времени обслуживания является не наихудшим случаем, с кото­рым приходится иметь дело в действительности. Имеются два типа си­туаций, в которых задержки в ожидании погрузки более продолжи­тельны, чем при экспоненциальном распределении. Первый случай, когда в течение короткого времени в пункт погрузки прибывает большое число автомобилей (например, в начале смены).Второй,когда время обслуживания значительно превышает нормальные пределы (подготов­ка экскаватором забоя, незначительные поломки погрузочного механиз­ма, заправка топливом и др.).

Время обслуживания, равное постоянной величине, встречается крайне редко. С другой стороны, в реальных условиях разброс време­ни обслуживания несколько меньше, чем в случае экспоненциального распределения, т. е. σ(t₀) редко достигает величины математического ожидания.

Анализ показывает, что при ρ≤0,5 характер распределения време­ни обслуживания не играет значительной роли как в образовании очере­ди автомобилей, ожидающих обслуживания, так и в продолжительности простоя в очереди. При дальнейшем увеличении, особенно когда коэффи­циент использования оборудования приближается к 0,8, кривые про­стоя подвижного состава в ожидании погрузочных работ начинают очень быстро расти. При этом незначительное изменение увеличения интенсивности прибытия автомобилей может привести к резкому сни­жению эффективности функционирования системы.

Если в пункте погрузки находится несколько погрузочных механизмов, то первым освободившийся механизм начинает загружать очередной автомобиль. Уравнения, которые применяются в таких моде­лях, основаны на следующих допущениях:

прибытие автомобилей в пункт погрузки распределяется по закону Пуассона;

время обслуживания распределяется согласно экспоненциальному распределению;

автомобили загружаются по принципу «первым прибыл - первым об­служен»;

все погрузочные механизмы имеют одинаковое распределение значе­ний времени обслуживания.

В многоканальных системах обслуживаниясреднее число автомобилей, ожидающих обслуживания,

и среднее ожидание обслуживания

где: В -вероятность того, что все посты обслуживания заняты в данный момент времени;

S -число погрузочных постов (число каналов обслуживания).

Минимальные затраты, связанные с погрузочными работами и транспортированием, будет в случае, когда затраты, связанные с про­стоями погрузочного механизма и подвижного состава, будут иметь ми­нимальную величину. Математическая модель для этого случая приведе­на в формуле (8.2).