5.2 Применение теории массового обслуживания к согласованию спроса и предложения услуг

Затраты на обеспечение объема деятельности растут по мере того, как растет уровень обслуживания. Менеджеры некоторых фирм могут менять свою производительность с помощью резервного персонала и оборудования, выделенного определенным пунктам обслуживания, чтобы предотвратить или сократить очереди. По мере того как обслуживание улучшается (а именно - ускоряется), стоимость времени, потраченного на ожидание в очереди, снижается. Издержки ожидания могут отражать потерянную производительность работников, когда их инструменты или станки нуждаются в ремонте, или просто могут быть оценкой издержек потребителей, понесенных из-за плохого обслуживания и длинной очереди (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1. Выбор между затратами ожидания и затратами на обеспечение объема деятельности

Системы обслуживания обычно классифицируются с позиций количества каналов (т. е. количества узлов обслуживания) и количества фаз (т. е. количества остановок в обслуживании, которые необходимо сделать) и называются системами массового обслуживания (СМО). СМО могут быть двух типов - с отказами и с ожиданием (с очередью).

На рисунке 5.2 представлена одноканальная модель массового обслуживания потребителей.

Рисунок 5.2 - Одноканальная система массового обслуживания потребителей

Обычный пример массового обслуживания - это одноканальная или одноузловая очередь. Вновь прибывшие объекты формируют единую очередь, чтобы их обслужили на одном пункте.

Многоканальная система, представленная на рисунке 5.3, предполагает также, что вновь прибывающие объекты описываются пуассоновским распределением вероятности, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Обслуживание выполняется по принципу «первым прибыл — первым обслужили», и предполагается, что уровень обслуживания у всех исполнителей одинаковый.

Рисунок 5.3 - Структурная схема многоканальной системы

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, покидает систему и в дальнейшем процессе не участвует.

В системах с ожиданием заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и принимается к обслуживанию, как только освободится один из каналов.

Основными параметрами системы массового обслуживания являются:

- n - число каналов;

- λ - интенсивность потока заявок (среднее число заявок, поступающих в единицу времени);

- μ - производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемых каналом в единицу времени.

Также используются ограничения , такие как длина очереди, время пребывания заявки в очереди и др.

Сведения данного параграфа относятся только к системам массового обслуживания, в которых все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими (потоками без последствий). Для математического описания таких процессов применяется аппарат марковских случайных процессов.

Вероятности состояний системы могут быть найдены интегрированием системы дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова производится по определенному правилу.

Прежде всего необходимо составить размеченный граф состояний. Затем при написании уравнения руководствоваться следующим. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена состояния, соответствующий член имеет знак «минус», ее в состояние - знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Начальные условия берутся в зависимости от того, каково было начальное состояние системы.

Чтобы понять как составляются уравнения Колмогорова рассмотрим следующий пример.

Пример. Имеется трехканальная СМО с отказами. Интенсивность потока заявок – λ, интенсивность потока обслуживания μ.. Составить дифференциальные уравнения состояния системы.

Решение. Возможные состояния системы:

S₀ - все каналы свободны;

S₁ - занят один канал, два свободных;

S₂ - заняты два канала, один свободен;

S₃ - заняты все три канала.

Граф состояний показан на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4 – граф состояний трехканальная СМО с отказами

Разметим граф. Если система находится в состоянии S₀, то поступившая заявка переводит ее в S₁ с интенсивностью λ. Если система находится в состоянии S_1, то поступившая заявка переводит ее в S₂ с интенсивностью λ и т.д.

Переход системы в обратном направлении будет при следующих условиях. Из S₁ (занят один канал) система перейдет в S₀ тогда, когда закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал. Интенсивность этого потока событий μ.

Если обслуживанием занято два канала, то поток событий, переводящий систему из S₂ в S₁, будет вдвое интенсивнее, т. е. равным 2μ. Аналогично поток событий, переводящий систему из S₃ в S₂ будет равен Зμ.

Разметив граф состояний и пользуясь вышеизложенным правилом, составим уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы:

Решение уравнений такого типа обычно выполняется на ЭВМ. При этом будут получены вероятности состояний как функции времени.

В большинстве случаев бывает достаточным знание предельных вероятностей состоянии, характеризующих установившийся режим работы системы массового обслуживания (при ). Для этого следует левые части уравнений (производные) положить равными нулю и решить полученную таким образом систему линейных алгебраических уравнений.

Ниже приведены размеченные графы состояний некоторых типов систем массового обслуживания и предельные вероятности состояний этих систем. Для краткости записи здесь , .

Для оценки эффективности СМО (при ) следует воспользоваться данными таблицы 5.1

Таблица 5.1 Формулы для оценки эффективности СМО

Следующий пример иллюстрирует, как можно применять одноканальную модель.

Пример. Механик шиномонтажного участка, может ремонтировать колеса со средней скоростью три колеса в час (или один примерно за 20 минут) в соответствии с отрицательным экспоненциальным распределением. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, прибывают в мастерскую в среднем два человека в час, следуя пуассоновскому распределению. Клиенты обслуживаются по принципу «первым прибыл - первым обслужили» и поступают из очень большой совокупности возможных потребителей.

Из этого описания мы можем взять операционные характеристики СМО шиномонтажного участка:

λ = 2 машины, поступающие в час;

μ = 3 машины, обслуживаемые в час.

По таблице 5.1 рассчитываем для одноканальной СМО:

= 2 машины в системе в среднем;

= 1 час - среднее время ожидания в системе.

= 1,33 машин, ожидающих в очереди в среднем.

= 40 минут среднего времени ожидания в очереди на одну машину.

= 0,33 - вероятность того, что в системе 0 потребителей.

Исходные данные для многоканальной СМО приведены ниже.

Потребители, которые пребывают с частотой около λ=2 человека в час, ждут в одной очереди, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик устанавливает глушители со скоростью около μ=3 глушителя в час.

Чтобы понять, как работает эта система по сравнению со старой одноканальной системой массового обслуживания, рассчитаем несколько операционных характеристик для канальной системы с числом каналов m=2 и сравним полученные результаты со значениями, найденными в первом примере.

Расчет по формулам из таблицы 5.1 дает следующие результаты:

р_о = 0,5, т.е. 0,50 – это вероятность того, что в системе 0 машин;

= 0,083 машины, ожидающих в очереди;.

= 0,75 машины в системе в среднем;

= 22,5 минут - среднее время ожидания в системе.

= 2,5 минуты среднего времени ожидания в очереди на одну машину.

Можно подвести итог этим характеристикам и сравнить их с такими же характеристиками одноканальной модели следующим образом:

Ускорение обслуживания значительно влияет почти на все характеристики. Особенно снизилось время, проведенное в очереди, - с 40 до 2,5 минут. Это согласуется с графиком соотношения затрат, изображенным на рисунке. 5.1.