Вероятность n аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра τ, согласно распределению Пуассона

Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероят­ных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис. 10.2 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно, что при больших значениях λτ (λτ  10) распределение приближа­ется к нормальному распределению при μ = σ² = λτ

. (10.8)

Закон Пуассона широко используют на практике: в теории надежности, при проверке качест­ва, при прогнозировании сейсмического риска и др. Закон Пу­ассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к неко­торой площади.

Рис. 10.1. Вероятность аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λτ

0,6 Q 0,3 Q

λτ = 0,5 λτ = 1

^{0 2 4 N 0 3 6 N}

0,2 Q λτ = 2 0,15 Q λτ = 4

0 3 6 N 0 5 10 N

0,12 Q λτ = 8 0,1 Q λτ =10

0 10 20 N 0 10 20 N

Рис. 10.2. Распределение Пуассона для шести значений λτ

Известен пример исключитель­но хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лон­дона в период Второй мировой войны. Такое согласие установ­лено при подсчете числа k падений, приходящихся на каждый из Ν = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S = 0,25 км². При общем числе снарядов Т = 537 число участков Nk, на которое приходилось по k падений (среднее число λS = Т/N – 0,9323), дано в табл. 10.4 в сравнении со значениями вероятностей Р(k; 0,9323), подсчитанных по фор­муле Пуассона.

Таблица 10.4