4.5.1. Показатели надёжности восстанавливаемых объектов

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

S_К S – подмножество состояний j =, в которых система работоспособна (читается «S_К принадлежит S»);

S_M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна;

S = S_K S_M (читается «S_К или S_M», «S_К дизъюнкция S_M»);

S_K S_M = 0 (читается «S_К и S_M», «S_К конъюнкция S_M»).

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t:

, (4.42)

где – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

– вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м сос­тоянии.

2. Функция простоя П(t) системы:

. (4.43)

3. Коэффициент готовности k_г.с системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ∞). При t ∞ устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются:

; .

Коэффициент готовности k_г.с можно рассчитать по системе (4.41) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dP_i (t) / dt = 0, так как P_i = const при t ∞. Тогда система уравнений (4.41) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

, (4.44)

и коэффициент готовности

(4.45)

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t→∞.

4. Параметр потока отказов системы:

, (4.46)

где λ_jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов:

. (4.47)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t:

. (4.48)

Примечание: при t → ∞, когда P_j(t = ∞) = P_j(∞) = P_j, средняя наработка между отказами T₀ = k_г.с / μ, где µ(∞) = µ.

В качестве примера вычисления показателей надежности рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

μ = λ= 1/ T , (4.49)

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

μ = 1/ T_В , (4.50)

где T – средняя наработка между отказами; T_В – среднее время восстановления.

С

λ

µ

Рис. 4.16. Граф состояний восстанавливаемого объекта

Система дифференциальных уравнений:

(4.51)

Начальные условия: при t = 0 P₀(t = 0) = P₀(0) = 1; P₁(0) = 0.

Поскольку состояния S₀ и S₁ представляют полную группу событий, то

P₀(t) + P₁(t) = 1. (4.52)

Путём выражения P₀(t) = 1 – P₁(t) и подстановки в (4.51) получено одно дифференциальное уравнение относительно P₁(t):

dP₁(t)/dt = λ(1 – P₁(t)) – μP₁(t). (4.53)

Решение уравнения производится с использованием преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для вероятностей состояния P_i(t):

,

где P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

Преобразование Лапласа для производной dP_i(t)/dt:

.

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения получено уравнение изображений:

где L{λ} = λ L{1} = λ / S.

При P₁(0) = 0

SP₁(S) + P₁(S)(λ + μ) = λ / S,

P₁(S)(S + λ + μ) = λ / S.

Преобразованием приведенных соотношений получено выражение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

. (4.54)

Введение обозначения λ + μ = а позволяет преобразовать правую часть выражения (4.54):

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учётом L{f(t)} = 1/S, а также f(t) = 1; L{f(t)} = 1/(S + a), получают f(t) = e^–at, после чего находят вероятность пребывания объекта в неработоспособном состоянии в виде выражения:

. (4.55)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P₀(t) = 1 – P₁(t) равна:

. (4.56)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой мо- мент t.

Коэффициент готовности системы k_г.с определяется при установившемся режиме t ∞, при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку dP_i(t)/dt = 0.

Так как k_г.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t ∞, то из полученной системы уравнений определяется

P₀ = k_г.с .

При t ∞ алгебраические уравнения имеют вид:

(4.57)

Дополнительное уравнение: P₀ + P₁ = 1.

При P₁ = 1 – P₀ получается 0 = λP₀ – μ(1 – P₀), или μ = P₀ (λ + μ),

откуда

(4.58)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

– функция готовности Г(t) = P₀ (t);

– функция простоя П(t) = 1 – Г(t) = P₁(t);

– параметр потока отказов µ(t) = λP₀(t) = λГ(t),

при t ∞ (стационарный установившийся режим восстановления)

µ (t) = µ (∞) = µ = λP₀ = λk_г.с ;

– ведущая функция потока отказов

– средняя наработка между отказами t₀= k_г.с / μ = k_г.с /k_г = 1/λ.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчёта показателей надёжности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности λ выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид (рис. 4.17):

Рис. 4.17. Граф состояний невосстанавливаемого объекта

Система дифференциальных уравнений для данного объекта:

Начальные условия: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

;

.

После группировки: ;

,

откуда .

Используя обратное преобразование Лапласа, получают

.