2.2. Общие математические зависимости теории надежности

Существенное рассеяние основных параметров надежности предопределяет необходимость рассматривать ее в вероятностном аспекте.

Как выше было показано на примере характеристик распределений, параметры надежности используются в статистической трактовке для оценки состояния и в вероятностной трактовке для прогнозирования. Первые выражаются в дискретных числах, их в теории вероятностей и математической теории надежности называют оценками. При достаточно большом количестве испытаний они принимаются за истинные характеристики надежности.

Рассмотрим проведенные для оценки надежности испытания или эксплуатацию значительного числа элементов в течение времени(или наработки в других единицах). Пусть к концу испытания или срока эксплуатации останетсяработоспособных (неотказавших) элементов иотказавших.

Тогда относительное количество отказов .

Если испытание проводится как выборочное, то можно рассматривать как статистическую оценку вероятности отказа или, если достаточно велико, как вероятность отказа.

В дальнейшем в случаях, когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка будет дополнительно снабжаться знаком звездочки, в частности .

Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов

.

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна 1:

.

Это же следует из приведенных выше зависимостей.

При ,и.

При ,и.

Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения наработки до отказа. В статистической трактовке

,

в вероятностной трактовке

.

Здесь и– приращение числа отказавших объектов и соответственно вероятности отказов за время.

Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности выражаются зависимостями

,

причем при

.

Тогда имеет место равенство

.

Интенсивность отказов в отличие от плотности распределения относится к числу объектов, оставшихся работоспособными, а не к общему числу объектов. Соответственно в статистической трактовке

и в вероятностной трактовке, учитывая, что ,

.

Получим выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов. Для этого в предыдущее выражение подставим

,

разделим переменные и произведем интегрирование

; ;

.

Это соотношение является одним из основных уравнений теории надежности.

К числу важнейших общих зависимостей надежности относятся зависимости надежности систем от надежности элементов.

Рассмотрим надежность простейшей расчетной модели системы из последовательно соединенных элементов (рис. 2.1), у которой отказ каждого элемента вызывает отказ системы, а отказы элементов принимаются независимыми.

Рис. 2.1.

Используем известную теорему теории вероятностей, согласно которой вероятность произведения, т. е. совместного проявления независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов, т.е.

.

Если

,

то

.

Поэтому надежность сложных систем получается низкой. Например, если система состоит из 10 элементов с вероятностью безотказной работы 0,9 (как в подшипниках качения), то общая вероятность получается .

Обычно вероятность безотказной работы элементов достаточно высокая, поэтому, выразив ,, … ,через вероятности отказов и пользуясь теорией приближенных вычислений, получаем

так как произведениями двух малых величин можно пренебречь.

При

,

получаем

.

Пусть в системе из шести одинаковых последовательных элементов . Тогдаи .

Вероятность безотказной работы нужно уметь определять для любого промежутка времени. По теореме умножения вероятностей

где и – вероятности безотказной работы за время и соответственно; – условная вероятность безотказной работы за время (термин «условная» здесь введен, поскольку вероятность определяется в предположении, что изделия не имели отказа до начала интервала времени или наработки).