3.2 Диагностирование жесткостей рессор автомобиля

При исследовании задачи о колебаниях автомобиля получено следующее частотное уравнение (1.5):

.

Здесь по-прежнему, , - жесткости рессор, - собственная частота колебаний, - радиус инерции кузова, , - расстояние от центра тяжести до колес, - масса кузова.

Обратная задача. Известны собственные частоты колебаний автомобиля, масса кузова, радиус инерции кузова. Неизвестны жесткости рессор.

Исследуем вопрос о единственности решения поставленной задачи. Для этого задачу с частотным уравнением (1.5) обозначим через , а задачу с таким же частотным уравнением и физическими параметрами, но с другими коэффициентами жесткости , обозначим через . Через , обозначим коэффициенты жесткости передних и задних рессор, соответственно, для задачи .

Теорема 3.1 Если собственные частоты задач и с частотными определителями и совпадают с учетом их кратностей, то = и =.

Доказательство.

Собственные частоты задачи совпадают с корнями уравнения (1.5). Преобразуем частотное уравнение (1.5) к виду

Далее запишем частотный определитель в следующем виде

где функции представлены следующим образом:

Функции , , , , не зависят от коэффициентов , и образуют систему линейно независимых функций.

Для частотного уравнения задачи имеем аналогичное представление

Поскольку и являются целыми функциями от и не равны тождественно нулю, то из теоремы Адамара [20, с.38] получаем, что функции и восстанавливаются по своим нулям с точностью до постоянного множителя . Значит

. (3.1)

Из (3.1) и линейной независимости функций получаем, что и =, =. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что жесткости передних и задних рессор автомобиля можно определить единственным образом по известным собственным частотам его колебаний.

Рассмотрим метод нахождения жесткостей рессор.

Преобразуем уравнение (1.5) к виду:

.

Если рассмотреть две собственные частоты и , то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными , .

(3.2)

Вычитая из первого уравнения системы (3.2) второе, получим

.

Разделим обе части последнего равенства на :

Выразим

,

, (3.3)

и подставим его в первое уравнение системы (3.2):

Преобразуем последнее равенство к виду:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:

Продолжая преобразования, имеем:

где

Решая последнее уравнение относительно , получим

(3.4)

где

Таким образом, по ходу вывода формул (3.3) и (3.4) доказана следующая теорема

Теорема 3.2 Если известны две собственные частоты , продольных колебаний автомобиля, ранг матрицы системы (3.2) равен двум, то жесткости рессор определяются по формулам (3.3) и (3.4).