Исследование посадочного удара самолета с шасси на воздушной подушке

курсовая работа

1.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для решения задачи возьмем данные, рассмотренные в пункте 1. При выводе уравнений равновесия будем использовать аксиомы механики. Согласно принципу отвердевания, равновесие деформируемого тела не изменится, если тело считать абсолютно твердым. Очевидно, если нить ABCD находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и каждый элемент этой нити. Мысленно выделим из нити ABCD элемент длиной l, и будем считать длину выделенного элемента бесконечно-малой. Со стороны отброшенных частей нити на элемент действуют силы T1 и T2; эти силы действуют в соответствии с другой аксиомой механики, которую называют аксиомой связей. По аксиоме связей, любое несвободное материальное тело можно считать свободным, если отбросить связи, наложенные на тело, и заменить их действия реакциями связей. Кроме того, на выделенное тело действует давление воздуха, складывающееся из двух сил: внутренней силы давления со стороны воздуха, находящегося в оболочке, и внешней силы давления со стороны воздуха, находящегося вне оболочки (рис.2).

T2 ц/2 Y1

ц/2

ц/2

P1абс

O T1

P

P2абс

рис.2

Так как длина выделенного элемента бесконечно мала, то можно считать, что форма этого элемента представляет собой дугу окружности неизвестного радиуса и центра. Тогда длина выделенного участка будет равна:

l = rц. (3)

Внешнее и внутреннее давление действует перпендикулярно l (по радиусу) и, по длине l давления сводятся к силе Р, приложенной в центре элемента и направленной по радиусу (параллельно оси Oy1)

P = (P1абс - P2абс)rц. (4)

Рассматриваемый элемент считается абсолютно твердым, поэтому действующие на него силы можно перемещать вдоль их линии действия. Линии, по которым действуют силы T1, T2, P, пересекаются в точке О. Такие системы сил называют сходящимися. Твердое тело, на которое действует система сходящихся сил, будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил будет равна нуль или, что-то же самое, сумма проекций на каждую ось выбранной системы координат будет равна нулю.

Проецируем силы на оси системы координат Ox1y1:

Ox1: , (5)

Ox2: . (6)

Из уравнения (5) получаем T1 = T2, т.е. сила натяжения в рассматриваемом случае постоянна вдоль длины нити. Угол ц мал, т.к. длина l очень мала, значит sinц ? ц. Тогда из уравнения (6) с учетом (4) и (5) имеем:

T = (P1абс - P2абс)r = const. (7)

Из (7) следует, что если избыточное внешнее давление отсутствует, или постоянно вдоль по длине нити, то поперечное сечение пневмооболочки представляет собой круговой элемент.

Так как абсолютное давление определяется по формуле (1), то из (7) для рассматриваемой задачи получаем:

. (8)

В рассматриваемой задаче нить находится под действием трех характерных зон избыточного давления: зоне BC с давлением P1 соответствует радиус r1 (рис.3); зоне обжатия CD, с избыточным нулевым давлением соответствует отрезок прямой CD (или дуга окружности бесконечно-большого радиуса); зоне DA с избыточным давлением (P1 - P2) соответствует радиус r2. При этом r2>r1.

Таким образом, кривая ABCD состоит из фрагментов двух окружностей радиусов r1 и r2 , и прямой CD; в точках C и D происходит скачок давлений, и в этих точках дуги должны гладко сливаться с прямой CD. Гладкий переход возможен только тогда, когда центры дуг окружностей O1 и O2 находятся на одной вертикали соответственно с точками С и D, т.е.

Xo2 = XB,(9)

Xo1 = XC.

Обозначая, через ц1 и ц2 центральные углы дуг из геометрии имеем:

r1(1 - cosц1) = H + YB, (10)

r2(1 - cosц2) = H + YA, (11)

Xo1 = XB + r1sinц1, (12)

Xo2 = XA - r2sinц2. (13)

Условие растяжимости нити дает еще одно уравнение:

(14)

где ТЕ - модуль упругости (100000 н/м). При ТЕ>? получаем частный случай, условие не растяжимости нити:

r1ц1 + r2ц2 + Xo2 - Xo1 = l0.

В дальнейшем будем считать, что нить растяжима.

Объединяя уравнения (8), (10), (11), (12), и (13), а также уравнения (2) и (3), получаем систему из 7 нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ц1, ц2, r1, r2, P1 и S:

P1r1 + P1f(Xo2 - Xo1) = (P1 - P2)r2, (15.1)

r2(1 - cosц2) = H + YA, (15.2)

r1(1 - cosц1) = H + YB, (15.3)

(15) Xo1 = XB + r1sinц1, (15.4)

Xo2 = XA - r2sinц2, (15.5)

(15.6)

(РАТМ + Р1)(S0L)n = (PАТМ + P2)(SL)n , n=1,4 (15.7)

Проанализируем систему (15). Если площадь S, ограниченная ABCD и AB, определяемая уравнением (16), известна, то при заданном P11 из последнего уравнения системы (15) легко определить давление в оболочке (это будет показано ниже) P1 . Вместе с тем давление P11 не входит в первые 6 уравнений системы (15). Это позволяет разделить задачу. В самом деле, если считать P1 заданным, решим первые 6 уравнений системы и далее, используя уравнение (16), построим процедуру определения P1 исходя из необходимого удовлетворения уравнения (15.7).

1.3 АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Первые шесть уравнений имеют вид:

P1r1 + P1f(Xo2 - Xo1) = (P1 - P2)r2; (a)

r2(1 - cosц2) = H + YA; (б)

r1(1 - cosц1) = H + YB; (в) (17)

Xo1 = XB + r1sinц1; (г)

Xo2 = XA - r2sinц2 (д)

(е)

После исключения Xo1 и Xo2 получаем:

r1ц1 + XA - r2sinц2 - XB - r1sinц1 + r2ц2 = l0

Выражая из уравнения (17 б, в)

,

и подставляя выражения r1 и r2 в уравнения, имеем:

()

Получили систему (), состоящую из двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и .

Обозначим первое уравнение системы (I) за f1(ц1,ц2) = 0, а второе за f2(ц1,ц2) = 0. Затем дифференцируем функции f1 и f2 по ц1 и ц2. Полученные производные подставляем в уравнения на шаге:

.

Проведенный анализ системы показал, что аналитического решения построить не удается. Поэтому решение задачи осуществляется численно.

Численное решение задачи организовано следующим образом. Задавая начальное приближение избыточного давления в пневмооболочке P1(1) и, решая нелинейную систему (I), определяем геометрические характеристики поперечного сечения ( r1, r2, Xo1, Xo2, dl, N). Далее, по найденным геометрическим характеристикам, определяем площадь поперечного сечения по формуле:

. (16)

и используя, на основании закона сохранения массы воздуха, предварительно закаченного в пневмооболочку, уравнение:

(PАТМ + P1)(S0L)n=(PАТМ + P2)(SL)n (2)

(где n - показатель адиабаты (для воздуха n=1,4), L - длина оболочки, S0,S - площади, ограниченные нитью ABCD и платформой AB в начальном и исследуемом состоянии) находим откорректированное значение P1(2) . Если разность по абсолютной величине между P1(1) и P1(2) меньше некоторого числа , где - заданная величина, то значения, полученные при этом решении, будем считать конечными. Если условие не выполняется, то решаем все заново с новым значением P1(1) и т.д.

1.4 ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

1.4.1 Метод половинного деления (для уравнения)

Y

C0 A

0 B C X

рис.3

Это один из надежных методов решения нелинейных уравнений. Он состоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок [A , B] , в котором расположено искомое значение корня x=C, т.е. A<C<B (рис.3). В качестве начального приближения корня С0 принимаем середину этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции F(x) на концах отрезков [A , C0] , [C0 , B] , в точках A , C0 , B . Тот из них, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка [A , B] на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и так далее. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т.е. после n итераций он сокращается в 2n раз.

1.4.2 Метод простой итерации

Для решения системы

Пусть нам дана система нелинейных алгебраических уравнений

ццц

ццц.

Для нахождения корней ц и ц этой системы часто пользуются методом простой итерации

цnцnцn

цnцnцn где n=0,1,2,…

Надо заметить, что если процесс итерации сходится, то предельные значения

цlimцn

n

цlimцn

n

обязательно являются корнями системы.

Для решения уравнения

Для его использования исходное уравнение записывается в виде:

x = F(x).

Пусть известно начальное приближение корня x=c0. Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем, новое приближенение:

c1 = F(c0).

Далее, подставляя каждый раз, новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений (рис.4):

cn+1 = F(cn), n = 1,2,…

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие:

Y

N2

N1

N0 С2

C1

O C0 X

рис.4

1.4.3 Метод Ньютона

Для решения системы

Рассмотрим систему нелинейных алгебраических уравнений

цц

цц

Для решения этой системы можно воспользоваться методом последовательных приближений. Допустим, что у нас есть начальные приближения ц и ц, тогда (цц) и (цц) - погрешности решения. Предполагая, что функции f1 и f2 непрерывно дифференцируемы в некоторой выпуклой области, разложим левую часть уравнений по степеням, ограничиваясь линейными членами

Решая эту систему линейных уравнений, найдем новое приближение () и повторим всю эту процедуру снова до тех пор, пока погрешности решения не будут удовлетворять заданному условию:

где - заданная величина и n=0,1,2,…

1.5 ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для решения системы уравнений (I) выбран метод Ньютона. Метод Ньютона обладает быстрой сходимостью и, несмотря на то, что этот метод чувствителен к начальному приближению, во многих случаях можно обеспечить его сходимость правильно подобрав начальное приближение.

Для решения уравнения (2) был выбран метод деления отрезка пополам, т.к. этот метод прост в реализации и обладает устойчивой сходимостью при варьировании начального приближения.

Выбранные методы решения реализованы в виде программы на ЭВМ, выполненной на языке программирования PASCAL. Программа составлена в форме двух блоков: внутреннего и внешнего. Внутренний блок - решение системы уравнений, определяющей геометрию пневмооболочки; внешний блок - решение уравнения, в котором происходит подбор одного из давлений.

Исходными данными программы являются: длина поперечного сечения пневмооболочки, координаты точек крепления и соприкосновения с поверхностью, коэффициент трения, величина обжатия, начальное давление в пневмооболочке и давление в подушке, начальные приближения геометрии. В результате решения программа выдает значения углов, радиусов, координат центров тяжести, внешней нагрузки, длины дуги, давление в пневмооболочке.

1.6 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

По изложенной методике и реализующей ее программе были приведены систематические расчеты удлиненной пневматической оболочки. Определялась форма поперечного сечения пневмооболочки, а так же осуществлялась подборка давления при заданном втором давлении. По полученным результатам мы получили форму поперечного сечения пневмооболочки показанную на рисунке 5. Данная форма получена при различных коэффициентах трения.

1.Нормальная сила определяется давлением Р в оболочке и шириной зоны контакта с поверхностью. И то другое связано с формой пневмооболочки. Следовательно, нормальная сила непосредственно влияет на ее форму.

Далее проанализируем влияние силы трения, а так же модуля упругости на нормальную силу обжатого пневмоскега.

2.Влияние силы трения на нормальную силу.

В нашем случае наблюдается две тенденции:

Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Pизб) действуют в одну сторону (положительная ось). У нас давление в оболочке растет, а ширина зоны контакта с поверхностью падает. Причем ширина зоны контакта падает интенсивней, чем растет давление. Следовательно, нормальная сила, определяемая по формуле:

N = Pdl

падает с ростом силы трения.

Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Ризб) действуют в разные стороны (отрицательная ось). В нашем случае происходит скачкообразное изменение положения равновесия.

Все эти аспекты показаны на рисунках 6,7 и 8.

На этих графиках показана зависимость нормальной силы от силы трения. Пик (на рис.6,7) - это и есть скачкообразное изменение положения равновесия.

3.Влияние модуля упругости на нормальную силу.

При увеличении модуля упругости (ТЕ) происходит некоторое изменение геометрических характеристик пневмооболочки. Увеличивается зона контакта с поверхностью и снижается внутреннее давление (т.е. увеличивается объем оболочки). В результате чего внешняя сила становится меньше. И наоборот, при уменьшении модуля упругости увеличивается нормальная сила.

2. Второй этап

2.1 ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем приземление самолета с шасси на воздушной подушке.

Рассмотрим пневматическую оболочку, прикрепленную к жесткой платформе самолета. Будем считать, что длина пневмооболочки много больше ее поперечных размеров.

Будем также считать, что различные поперечные сечения пневмооболочки находятся в одинаковых условиях и форма этих сечений по длине (по оси Oz) не меняется, а материал, из которого сделана пневмооболочка, является нерастяжимым (на первом этапе). Пусть в оболочку закачена некоторая масса воздуха и давление внутри подушки - Рвп, а внешнее давление, равно атмосферному - Ратм. Будем считать, что в этом случае величина давления в балоне известна - Рб.

Начальные условия: H0, 0, Рвп0, Рб0, r10, r20, ц10, ц20 .

Геометрические и массовые данные: S0, BB, m.

Параметры состояния: Ратм, сатм .

Имея такие исходные данные, нам необходимо вычислить максимальную избыточную перегрузку возникающую при посадочном ударе коммерческого самолета, максимальная величина вертикальной скорости которого равна -3м/с. По результатам программы нужно построить график зависимости Н, Н, hзазора от времени. Т.е. проследить как изменяются эти переменные в различный момент времени, а так же получить их численные результаты.

самолет перегрузка удар пневмоскег

Делись добром ;)