3.3. Работа, затрачиваемая на вращение колеса ступени

Рис. 3.5. К выводу формулы Эйлера

Изобразим решетку профилей, представляющую собой развертку сечения лопаток РК в элементарной ступени цилиндрической поверхностью на плоскость рисунка (рис. 3.5).

Линия т-п, соединяющая передние кромки всех профилей, называется фронтом решетки, а расстояние t между одинаково расположенными точками соседних профилей – шагом решетки.

Поворот потока воздуха в рабочем колесе сопровождается воз­никновением на каждой лопатке аэродинамической силы , направленной от вогнутой к выпуклой поверхности профиля.

Примем следующие обозначения: Р_u-окружная составляющая аэродинамической силы, направленная параллельно вектору окружной скорости, а

Р_а -осевая составляющая аэродинамической силы, направленная вдоль оси ступени.

Осевая составляющая Р_а передается на упорный подшипник вала компрессора. Окружная составляющаяР_uнаправлена против движения лопаток колеса и стремится замедлить их вращение. Поэтому для поддержания постоянной частоты вращения ротора к валу компрессора должен быть приложен соответствующий крутящий момент. Работа, затрачиваемая в единицу времени, равна произведению этой силы на перемещение профиля в единицу времени, т.е. на его скорость. А в расчете на единицу массы воздуха, проходящего через элементарную ступень в единицу времени, (т.е. в Дж/кг) получим

, (3.1)

где расход воздуха через элементарную ступень.

Для определения силы Р_uиспользуем теорему Эйлера о количестве движения.

Выделим в потоке, обтекающем один из профилей решетки, объем, ограниченный контрольной поверхностью, которая состоит из:

– двух поверхностей тока 12и1'2',отстоящих друг от друга на величину шагаt(см. рис. 3.1);

– двух плоскостей 11' и22',параллельных фронту решетки;

– двух плоскостей, параллельных плоскости рисунка и расположенных друг от друга на небольшом расстоянии Δr.

Учтем, что если сила, действующая на лопатку PKсо стороны обтекающего её потока, равна, то сила, с которой лопатка воздействует на поток воздуха в выделенном объеме, равна.

Согласно теореме Эйлера, сумма всех сил, действующих на выделенный объем воздуха, должна быть равна разности количеств движения потоков, вытекающих и втекающих в этот объем в единицу времени. При этом силы, действующие на поверхностях 12и1'2', вследствие периодичности потока в точности компенсируют друг друга, а расход воздуха через эти поверхности равен нулю. Таким образом, кроме силыР'будут подлежать учету только количества движения и силы давления воздуха в сечениях11'и22'.

Тогда, для окружной и осевой составляющих силы получим:

, (3.2)

где расход воздуха через контрольную поверхность.

С учетом (4.1) можно записать:

. (3.3)

Таким образом, работа, затрачиваемая на вращение элемента колеса ступени осевого компрессора, при цилиндрической поверхности тока равна произведению окружной скорости «u» и закрутки воздуха в колесе .

Так как при цилиндрических поверхностях тока и, то

. (3.4)

Формулы (3.3) и (3.4) определяют элементарную работу вращения L_uв одном сечении ступени компрессора.

Работа, затрачиваемая на вращение колеса ступенив целом, может быть найдена путем интегрирования её значений для каждой элементарной ступени (с учетом расхода воздуха через неё) с последующим отношением результата интегрирования ко всему массовому расходу воздуха через ступеньG_в, т.е.

. (3.5)